Ana SayfaMatematikSerilere Giriş

Serilere Giriş

Okurun bu tartışacağımız matematiksel düşünme yetisine sahip olduğunu biliyorum. Şimdi çok basit olarak,

img 0001 2

sayılarının toplamının kaç olduğunu söyleyebilir misiniz? Eh, az bir mantık ile bunun sonsuza gittiğini ya da matematikçiler için daha düzgün bir tabir olan “ıraksadığını” söyleyeceksiniz. Şimdi şu seriye bakalım. Bu biraz daha zor sanki. 1 var sonra 0.5 daha sonra 0.33, 0.25, 0.20 şeklinde gidiyor. Yukarıdaki desen açıktı. Git gide büyüyen sayılar toplanıyor. Ya aşağıdaki desen ya da toplam?

img 00021

Bu seri için ise matematik bilmeyen bir insan insan için cevabın en fazla 2 olacağı gözler önüne gelir. 1’den sonraki tüm kısımlar 1’e ulaşır. Baş tarafta bulunan diğer 1 ile toplanırsa 2 ya da biraz daha farkötesi sayı gelir. Ama yukarıdaki seri de ıraksak bir seridir. Kanıt için lütfen limit kullanın. Bu yazıda ona değinmeyeceğim. Peki işler biraz daha karışık hale gelirse ne yapacağız. İşte şu örnek bize yardım edecektir.

img 0007 1

Tahmin edici kalıplara bağlı olmayan sonsuz seriyi yazmanın daha iyi bir yoluna ihtiyacımız varmış gibi görünüyor. Neyse ki, bir tane var. En kolay anlaşılan bir örnek:

img 0008 1

Toplam sembolü bize karmakarışık bir seriyi tanımlamamıza olanak sağlar. Üzerinde tanımladığımız değişkenler sayesinde serinin yakınsak mı yoksa ıraksak mı olduğuna karar vermemizi sağlar. Eğer şuanda bu sembol tanımlı olmasaydı yani Leibniz olmasaydı ve tanımlamamış olsaydı bu konular havada kalacaktı. Tabi ki Newton ve Bernoulli ekibini de hiçe saymak olmaz.
img 0008 1

serisi aslında,

img 00021 serisinin tıpatıp aynısıdır. Aynı biçimde,

img 00012

serisi ise,

img 0001 1

aynı biçimidir. Belki bir adım daha giderek şu şekilde tanımlanan seri,

img 0003

“i” değerinin değişkenine bağlı olarak,

img 0004 1

biçiminde olacaktır. Özellikle matematik bölümlerinde ve mühendislik fakültelerinde Kalkülüs veya Analiz derslerinde bu seriler daha detaylı anlatılmaktadır.

Alternatif olarak pozitif ve negatif terimleri bulunan serileri bile ifade edebilirsiniz. Örnek olarak,

img 0005 1

verilebilir. Siz de “i” yerine değerler vererek yukarıdaki serinin

img 0006 1

eşit olduğunu görebilirsiniz! Okura hediyeli bir soruyu da sormadan geçemeyeceğim.

img 0007 2

Yukarıda verilen seriyi toplam sembolü ile yazabilir misiniz? Eğer yazarım derseniz, ben de hediyenizi hazır ederim! Cevaplarınızı merakla bekleyeceğim!

Mushab Bedirhan Andız
Mushab Bedirhan Andız
Matematik Araştırmacısı ve Yazar
Önceki İçerik
Sonraki İçerik

11 Yorum

Subscribe
Bildir
guest
11 Yorum
Inline Feedbacks
Tüm yorumları göster
Arıcılık Malzemeleri

Yeni Yazılar

Mühendislik Maaşları

Bunları Gördünüz mü?