Matematikte sezgicilik genel anlamda kuşkuya neden olmaktadır. Özellikle Euclid dışı geometride yaşanan can sıkıcı gelişmeler (Eflatuncular için bu gerçekten can sıkmıştır. Onlar Euclid geometrisinin değişmez bir bütün olduğunu varsayıyorlardı.) sezgicilerin uğraştığı konular sonucu doğan bir konuydu. Matematiğin inşasında sezgiciliği ön plana çıkaran Poincare ve Brouwer sezgicilik ekolünün en önemli temsilcilerinden birisidir. Bu iki isim bize topolojinin çalışma alanlarından birçoğunda karşımıza çıkar. Topolojinin temellerini inşacı bir yaklaşımla ortaya koymuştur. Peki matematikteki sezgicilik bize ne çağrıştırması gerekiyor. Sezgi, matematikçinin formül, sembol veya ispat kullanmadan bir problemin çözümünü ve bir teoremin doğruluğunu görebilmesi ve hissedebilmesidir.
Örneğin; Bir kümeyi elimize alalım, sonsuz bir küme sonlu adımda inşa edilebilir bir matematiksel kavram değildir. Bunu anlamamız ve inşaa etmemiz için bize gereken en önemli neden bu kümeyi sezgisel olarak inşaa etmek olacaktır. Bunu bir evin duvarını örerken tuğlaları sırası ile koyup duvar örmek gibidir. Yani tümevarımsaldır. Tamamlanamayan bir küme üzerinde sezgisel olarak bizi ikna etmiyorsa (biz dediğimiz sezgicileri) bu matematiksel kanıt eksik ve yetersiz sayılır.
Özellikle Poincare yaptığı çalışmalar ile matematiğin anlamını bir kenara koyarak onu matematiksel mantık ve sembolik olarak anlamlar yüklemeye başlamıştır. Hep çatıştığı, eleştirdiği Hilberti adeta topa tutarak onun ileri sürdüğü formalist yaklaşımı adeta yerin dibine sokmuştur. Nedendir bilinmez!
Brauwer ise matematiği biraz daha mantıksal olarak değerlendirmiş ve bugün derslerde okutulan kalıba sokmak istemiştir. Yaptığı ispatlarda mutlaka matematiksel mantık sistemini kullanmış ve şu üç kuralı görmezden gelememiştir.
- A ve B ’nin ispatı, A’nın ve B’nın ispatına bağlıdır.
- A veya B ’nin ispatı ya A ya da B nin ispatına bağlıdır.
- A ise B’nin ispatı A’nın ispatını B’nin ispatına döndüren bir inşaadır.
Sezgiciler için pi sayısının önemi ve değeri çok fazlaydı. Özellikle Brouwer pi sayısının ondalık açılımları ile çok yakından ilgilenmiş ve bazı ondalık açılımlar yapılmıştır. Bu sayısı cezbeden şey ise Sezgicilerin sonsuzluk üzerinde aşırı düşünmeleri ve çalıştığı alanların bu konu ile çok yakından ilgili olmasıydı. Bu arada Sezgiciler için sonsuz hiçbir zaman tamamlanmadığı için sonsuz küme üzerinde bir tanım yapmak her zaman hatalı olacaktı. Matematiksel ispat yöntemlerinden olmayana ergi kullanmak ise adeta bir günahtan başka birşey değildi. Sezgiciler için matematikte ispat yöntemlerinden “Olmayan ergi yöntemi” metodlar dışındaydı.
Kök 2 sayısının bir irrasyonel sayı olduğunun ispatlanması normal şartlarda olmayana ergi yöntemi ile ispatlanır. (Bunun ispatını vermiyoruz) İşte bu ispat onlar için yetersiz ve eksiktir. Aynı biçimde sezgiciler doğal sayılar kümesinin iyi sıralanmış bir küme olduğu hakkında birçok belirsizlik içine düşmüşlerdir. Bunun sebebi ise doğal sayılar kümesinin sonsuzluk ile yakından ilgili olmasıdır.
Sonuç olarak sezgiciler için matematik sembolik mantıkla, aksiyom ve teoremlerle sınırlı değildir. O insan zekasının ve dolayısıyla sezginin bir ürünüdür. Yaşamın bir parçası ve olgudur. Sezgiciler açısından Gödel’in eksiklik teoremi ise sonlu adımlarla üretilen bir matematik sisteminin de bir çelişki üreteceği ihtimali ortadan kalkmayacaktır.
Tüm matematikçilerin matematik felsefesi çerçevesindeki bu yaklaşımları formalistler ve Mutlakçılar tarafından özellikle de Eflatuncular tarafından hep saçmalıkla karşılandı. Ama durum ortada…