Bir matematikçi ne kadar derin düşünürse o kadar matematiğin diplerine nüfuz edebilir. Yıllarca matematikçilerin çözdüğü problemler, ortaya attıkları teoremler ve tartışmaları matematiğin de bir felsefesi olabileceğinin ortaya çıkmasına olanak kıldı. Matematiksel Felsefi okullar biz matematikçilere yol göstermiş ve bir seçim yapmamızın da gerekli olduğunu göstermiştir. Matematik Felsefesi üzerinde kitap okuyan ya da herhangi bir ders almış kişiler için bu yazı ufuk açıcı bir yazı olmamakla birlikte hiçbir fikri olmayan okuyucu için çok önem arz edecektir. Matematiksel Felsefi okulları bu yazı da 3 başlık altında toplayacağız. Daha fazla felsefi görüş olmasına karşın temel görüşler Mantıkçılar, Formalistler, Sezgiciler olacaktır ve Mantıkçılar üzerinde duracağız. Matematiğin temellerine ilişkin bu okullar çok önemli matematikçilerin çatışmasına, ayrılmasına sebep olmuş, herbir görüşü savunan matematikçiler ise sizlerin çok yakından tanıdığı matematikçilerdir. Mantıkçılar için matematik ne anlam ifade ediyor inceleyelim.
Mantıkçılar olarak nitelendirdiğimiz görüş matematiği sağlam temellere dayandırmaya çalışan bir takım matematikçiyi bir araya getirdi. Russell, Frege, Hardy, Gödel gibi önemli matematikçileri bir araya getirmiştir. Frege özellikle yaptığı çalışmalar ile aritmetiği mantığa indirgemeye çalışıyordu. Ona matematiksel bilgiler insan düşüncesinden bağımsız şeylerdi. İdealar dünyasında olduğunu sonuna kadar savaşmıştır. Özellikle Mantıkçılar’ın bir kolu olan Mutlakçılar için bir paradigma olarak yukarıda bahsettiğimiz idealar kavramı bir paradigma olarak görülmektedir. Frege aritmetiği Russell ise tümüyle matematiği mantığa indirmeye çalışıyordu. İtalyan matematikçi Peano ise sayı sistemlerine yeni bir bakış açısı getirerek kendi adıyla anılan “Peano Aksiyomlarını” ortaya atmış ve doğal sayıların temelini ve aritmetiği 3 sembolle açıklamış ve 5 postulat vermiştir. Bunlar şu şekildedir.
- Sıfır bir sayıdır.
- Herhangi bir sayının ardıda bir sayıdır.
- Aynı sayının ardılı farklı bir sayı olamaz.
- Sıfır hiçbir sayının ardı değildir.
- Sıfıra ait bir özellik, başka sayıya da aitse bu durumda o özellik tüm sayılara ait olmalıdır.
Yukarıdaki 5 postulat doğru ve kanıtını tahmin edebiliyoruz.
Peanonun yaptığı çalışmalar, Russell’in “Principia of Mathematica” adlı çalışmasıyla destek buldu. Yapılan çalışmalar sonucunda bir sorun ortaya çıkıyordu. Matematiği mantığa indirmek bazı paradoksların doğmasına sebep oldu. Russell’in paradoksları adı altında “Berber Paradoksu ve temel paradokslar” bu işin hiç de kolay olmayacağını gösterdi. Russell bu paradokslara çözüm olarak “Tipler Teorisini” oluşturdu. “Tipler Teorisi” dediğimiz şey kümeler teorisi ile ilgili konular nesnelerin hiyerarşik yapıda düzenlenmesini öngörmektedir. Bu şu anlama gelmektedir; Çoklukları oluşturan asal nesneler 0- tipini, asal elemanlarını içeren kümeler 1- tipini, 1- tipindeki nesneleri içeren kümeler 2- tipini oluşturur. Kümeler teorisinde tiplerin karıştırılmaması işlem gören kümenin tüm elemanlarının aynı tipten olması kuralına bağlı kalınması gereği vardır. Mantıkçıların bir kolu olan mutlakçılar için hedef yine matematiği kesin ve tutarlı bir yapıya kavuşturmaktı. Fakat Öklid dışı geometrilerin varlığı mutlakçılara özellikle Kant’a şok uğratmıştır. Kant Öklid geometrisini kutsamış ve ondan başka geometrinin olamayacağını vurgulamıştır. Riemann geometrisi ve Hiperbolik geometrinin ortaya çıkması mutlakçılara da bir darbe vurmuştur. Mantıkçılığı değerlendirirken eleştirel nitelikte birkaç noktaya değinmeden geçmemeliyiz. Bu noktalardan biri matematiksel kesinliğin doğasına ilişkindir. Onlara göre matematiksel doğruluğun kesinliği, matematiğin tümüyle dedüktif olan mantıksal temelinden kaynaklanan totolojik bir kesinliktir. Matematiği verimli ve yaratıcı bir çalışma kimliği kazandıran şey mantık değil, akıl ya da sezgimizin temel özelliğini yansıtan matematiksel indüksiyon türünden düşünme biçimleridir. Böyle bir ilkeye başvurmaksızın matematiği mantığa indirgemeye olanak yoktur. Sezgiye yer vermeyen matematikte yeni buluşlara gitme şöyle dursun, ispat bile yapılamaz. Başvurulduğunda ise ortaya konan indirgeme döngülü bir çıkarım olmaktan ileri geçmez. Mantıkçılığın eleştirisi günümüzde de sürmektedir. Örneğin, Steiner, aritmetiğin indirgendiği teoriyi aritmetikten daha az kesin saymaktadır. Gerçekten sayıları küme kavramına indirgemenin matematiğe daha sağlam bir temel oluşturduğu pek çok kimsenin gözünde kuşku konusudur. Kaldı ki, her şeyden önce kümeler teorisinin, matematiğin değil mantığın bir parçası olduğu ortaya konmalıdır. Bu nokta bugün bile açıklığa kavuşturulmuş değildir.
Referans:
- Baki, A – Matematik Felsefesi ve Bilmat grubu – 2002