Mühendislikte matematiğin kullanım alanları oldukça fazladır. Hatta o kadar fazladır ki mühendislik matematiği en çok kullanan meslektir desek bile hiç de yanlış bir ifade kullanmış olmayız. Bu yazıda size bazı mühendisliklerde nasıl matematik kullanıldığını ve gündelik hayatımızda da kullandığımız eşyalarda ve teknolojik aletlerde kullanılan matematiğin nasıl ve ne için kullanıldığını anlatacağım. Hepsini anlatamasam da en azından bir kaçının çalışma prensibinin, nasıl çalıştığının ve yapılırken geçtiği aşamalarda matematiğin nasıl kullanıldığını size açıklayacağım.
Makine Mühendisliği ve Elektrik Elektronik Mühendisliği
Otomobil
Otomobil yapımının çok büyük bir bölümünde matematik kullanılır. Örnek olarak otomobil şasesinden başlarsak eğer, bunu endüstriyel boyutta üç gruba ayırabiliriz: Üretim, Ekonomi ve Sosyal Etkisi.
Üretimden devam edilecek olunursa Metaller ve Alaşımlar, Seramikler, Polimerler, Kompozit Malzemeler gibi birçok malzeme seçimi ile karşılaşılır. İşte tam burada ise matematik devreye girer. Malzeme seçiminde; mukavemet, sıcaklığa dayanıklılık, güç gibi unsurların sıralanması, hesaplanması ve analiz edilmesi matematik ile sağlanır. Örneğin sıcaklığa dayanıklılığına bakılacak olunursa maddelerin mukavemetiyle beraber verilmiş şu tabloya bakılabilir:
Malzeme tasarımı ve seçimi yapılırken seçilen malzemelerin Yoğunluğuna ve Spesifik Mukavemetine bakılır ki bunlar da tamamen Matematik ile hesaplanan ve seçilen unsurlardır. Spesifik Mukavemet, maksimum mukavemetin yoğunluğa bölümü ile hesaplanır. Malzeme seçiminde, seçilecek malzemenin nerede kullanılacağına göre iletken ya da yalıtkan olarak seçilir. Burada seçilen malzemedeki “Direnç” faktörü de önemli bir etkendir. Bir metre boyunda bir milimetre kesitinde ve 25 ºC sıcaklıktaki bir malzemenin direnci, o malzemenin özdirenci olarak tanımlanır. Özdirenç ρ harfi ile gösterilir.
İletken bir malzeme seçilip uygulanacağı yere uygulandıktan sonra şöyle bir veri elde edilebilir:
Gerilim arttıkça akım da artar. Uygulanan gerilimin devreden geçen akıma oranı devre direncini verir. Direncin tanımından R = U / I formülü çıkarılabilir. Bu formülde R direnç, U volt olarak uygulanan gerilim, I ise amper olarak devreden geçen akımdır.
Ohm kanuna göre:
Buzdolabı
Buzdolabı gibi hayatımızda çok büyük bir parçaya sahip olan bu eşyanın da yapımında matematik büyük oranda kullanılır. En basitinden, bir buzdolabının motorun çalışması için motordan belirli bir akımdan daha fazlası geçmesi gereklidir. Ayrıca her buzdolabı motoru aynı olmadığı için bu buzdolabı motorlarından geçen akım da aynı olmayacaktır. İşte tam burada hangi motordan ne kadar akım geçeceğini belirlerken matematik kullanılır ve “P=U^2 /R” formülü ile motordan geçen akımın motoru çalıştırıp çalıştıramayacağı hesaplanır.
Matematiğin buzdolabının çalışma prensibinde nasıl bir rol oynadığını açıklamak gerekirse eğer, bunu “İdeal Gaz Yasası” ile yani “PV = nRT” formülü ile açıklayabiliriz. P basınç, V hacim, n mol sabiti, R gaz sabiti, T sıcaklık olmak üzere denkleme göre hacim ve basıncı arttırırsak sıcaklığın da arttığını ve yine hacim ve basıncı azalttığımızda sıcaklığın da azaldığını görürüz. Bu da bize buzdolabının basit bir şekilde çalışma yapısını verir.
Asansör
Asansörler, yaşadığımız yerden tutunda çalıştığımız yere kadar kullandığımız biz insanların hayatını kolaylaştıran bir araçtır ve bütün araçlar gibi bu arac ında çalışma prensibinde ve yapımında matematik önemli rol oynar. Şimdi asansörün hangi bölümlerinde ne zaman ve nasıl matematik kullanıldığına bakalım. Asansör halatının seçiminde eğilme dayanıklılığı hesaplanırken halatın eğilme yarıçapı yani makara yarıçapı kullanılarak hesaplama yapılır. Ayrıca halatın elastik uzama değeri hesaplanırken de şu formül kullanılır:
Asansörün sağlıklı çalışabilmesi ve kat hizasından kayarak herhangi bir kazaya yol açmaması için TS 10922 EN 81 -1 standartlarına göre sarma açısı minimum 160° olmalıdır. Bunu hesaplamak için de bir matematik formülü kullanılır:
Asansör Halatı üzerine gelen yük oldukça arttığında, halat ömrünü kısaltan bir çalışma şekli olan “Darbeli Yükleme” yi ortadan kaldırmak için Dinamik Yük Hesabını veren matematik formülü kullanılır:
Kaldırma uygulamalarında çelik Halat için, dinamik çalışma koşullarında 4 tür yük öngörülmüştür. Burada matematik kullanılarak Toplam yük hesaplanır. Toplam yük F ile gösterilmiştir:
Asansör hareket edeceği zaman ne kadar yük kazanacağı yani kalkış yükü iki tane formül ile hesaplanır; Halatta sürekli yük altında gevşeme olmuyorsa şu formül:
Halatta sürekli yük altında gevşeme oluyorsa şu formül kullanılır:
Yükün aşağı hareketi sırasında , asansörün aniden durması önemli bir dinamik yük oluşturmaktadır. Buna Ani duruş veya fren ivmesi yükü denir. Elbette buda matematik formülleri ile hesaplanır:
Televizyon
Televizyonun yapımında ve aynı zamanda da çalışmasında matematik kullanılır. Geçmişte yaygın biçimde kullandığımız tüplü televizyon ve tüplü monitörlerde tüm devrenin en can alıcı noktası olan elektron tabancası, üretti ği elektron demeti sayesinde televizyondaki görüntüler ortaya çıkmaktadır. Günlük hayatta kullandığımız televizyon, bilgisayar gibi görüntülü sistemlerin çalışması, ekrandaki o resimlerin oluşması ve hareket etmesi elektron tabancası ile gerçekle şir. Elektron tabancasının yapımında ise temel olarak Kimya ve Matematik bilimleri kullanılır. Elektron tabancasının görevi, ekrana çarptığında parlak bir benek oluşturacak ince bir elektron demeti medyana getirmektir. Ekran üzerinde oluşan dairesel beneğin çapı d=h/n’dir. Bu formülde h, resmin yüksekliği; n ise satır sayısıdır.
Gözün görüntüyü iyi algılaması için seyredilen resmin genişliği ve yüksekliğiyle seyretme mesafesini hesaplamak gerekir. Bu da şu matematik bağıntısı ile hesaplanır: L/H=4/3 Normalde gözün seyretme mesafesi 4H ile 8H arasındadır.
Televizyon vericilerinin kaç KHz sinyalde (Kilohertz) ne kadar anten boyu uzunluğu ya da ne kadar anten boyu uzunluğunda kaç KHz sinyal verdiği şu matematik formülü ile hesaplanır:
Televizyonların gönderdiği sinyallerin frekans genliği bulunurken belirli formüller kullanılır.
Modüleli Maksimum sinyal genliği bulunurken: Amax – Amin
Modülesiz sinyal genliği bulunurken: Amax + Amin
Bu formüller kullanılır. Bu iki formülün birbirine bölümü ise Modülasyon seviyesini belirlemede kullanılır:
İnşaat Mühendisliği
Yaşadığımız yerler, çalıştığımız iş yerleri, eğitim gördüğümüz okullar ve diğer tüm bu yapılar aslında matematik ve İnşaat Mühendisliğinin buluştuğu yerlerdir. Yani inşaat mühendisliğinde matematik bisikletin bir tekeri gibi, olmazsa olmazdır.
Yapı Dinamiği
İnşaat Mühendisliğinin en temel sistemi olan Yapı Dinamiğinde, problemin dinamik karakterde olması durumunda Newton’un ikinci kanunu olan “bir yapıya etkiyen kuvvet net kuvvet, yapının ivmesi ile orantılıdır” ile şu matematik formülü kullanılır:
Bir başka ifade ile, bir cisme etki eden net kuvvetin meydana getirdiği ivmeye oranı sabit olup, kütleye eşit olur. Kütlenin ivmeyle çarpımına eşit olan net kuvvet Atalet (eylemsizlik) kuvveti olarak tanımlanıp, dinamik denge denkleminin statik denge denkleminden olan farklılığını yansıtmaktadır. Atalet kuvveti, sisteme etki eden net kuvvete ters yönde ortaya çıkmaktadır. Bununda matematik formülü şu şekildedir:
Her yapının kendine özel bir doğal titreşme hareketi vardır. Yapıların doğal titreşim özelliği hesaplanırken de matematik formülü kullanılır. Doğal titreşim özellikleri yap ının kütlesine (m) ve yapının rijitliğine (k) (mühendislikte kullanılan sertlik terimi) bağlıdır.
İnşaat mühendisliğinde Mekanik Titreşimler konusunun Çok Serbestlik Dereceli Sistemler ve Dinamik Titreşim Yutucu alt konuları neredeyse tamamen matematik ve fizikle ilgilidir. Bunlardan matematik ile ilgili olan formüllerinden örnek verecek olursak;
Çok Serbestlik Dereceli Sistemlerin titreşim analizlerinde diferansiyel denklem takımları ve bunlara bağlı olarak oluşturulan matris formundaki denklemler söz konusudur.
İki Serbestlik Dereceli Öteleme Sistemi :
Matris formunda Hareket denklemleri:
Sönümsüz Dinamik Titreşim Yutucu denklemleri:
Matris formunda Sönümsüz Serbest Titreşim Denklemi
Mukavemet
Temel mühendislik bilimi olan Mukavemet, Uçak, Makine, Otomotiv, Gemi gibi mühendisliklerde kullanıldığı gibi İnşaat Mühendisliğinde de çokça kullanılır diyebiliriz. Mukavemetin kelime anlamı dayanıklılık, direnme olarak açıklanabilir. Mukavemette temel amaç yapılan sistemin dış kuvvetlere karşı koyup, kuvvetleri taşıyabilmesi için sistemi oluşturan parçaların boyutlandırmasını yapmak veya bu kuvvetleri sistemin taşıyabilmesi için malzeme seçimi yapmaktır. Mukavemetin İnşaat Mühendisliğindeki matematik ile ilgili kısmına geçersek;
Şekle göre; Kopma gerilmesine denir. İpteki gerilme;
Bir, iki ve üç eksenli gerilme türleri vardır. Şekle göre tek eksenli gerilmeyi hesaplamak için şu formül kullanılır:
Makine Elemanlarında Gerilmeler
Makine Elemanlarında Gerilmeler; çekme, basma, eğilme, yüzey basınç gerilmesi ve burkulma gerilmesi gibi türlere ayrılır ve gerilme türleri farklı matematik formülleri ile hesaplanır. Birkaçını açıklarsak:
Çekme Gerilmesi:
Basma Gerilmesi:
Örnek olarak:
Eğilme Gerilmesi:
Uçak ve Meteoroloji Mühendisliği
Havacılıkta, meteorolojik olaylar uçuş rotalarında değişikliğe neden olur. Matematiğin analiz ve olasılık dalları kullanılarak hava tahmin raporları oluşturulur ve bu raporlara göre uçakların uçuş rotası belirlenir.
Uçakların insan ölümüne neden olmadan sivil havacılık onayları alarak uçabilmesi de matematik verileri sayesinde gerçekleşmiştir. 10 km’de saatte 900 km hızla uçan 100 tonluk aletlerin (uçak) havada olabileceğine ve düşmeyeceğine ikna edilmesi, gereken havacılık otoritelerine gerekli ispatlar matematiğin kesin dili ve hesaplamaları sayesinde yapılmıştır.
Atmosferde hangi gazların ne kadar bulunduğu yüzdelik oran ve üslü sayılar ile ölçütlenir.
Meteoroloji Mühendisliğinin alt bilimlerinden olan Akışkanlar Dinamiği, hareket halindeki akışkanların (sıvı ya da gaz) doğada nasıl aktığıyla ilgilenir.
Akışkanlar Dinamiği biliminin, Spesifik Gravite ve Yoğunluk konusunda yoğunluk hesaplanırken;
Şeklinde ifade edilir.
Statik, Dinamik ve Toplam Basınç konularının Bernouilli Teoremi ve Venturi alt başlıklarında Basınç(p) hesaplanırken;
bağıntısı kullanılır.
Kaldırma kuvveti (Lift) ile sürükleme kuvvetinin (Drag) bileşkesine Aerodinamik Bileşke denir. Aerodinamik Kuvvetler hesaplanırken farklı şekillerde matematik formülleri kullanılabilir. Aerodinamik kuvvet, net basınç farkı ile uçağın kanat alanını çarpma sureti ile bulunabilir; fakat, basınç farkı hücum açısı ile değişmekte olduğundan matematiksel olarak hesaplamak son derece güçtür. Basınç farkı dinamik basınç ile doğru orantılı olarak değişir. Aerodinamik Kuvvet eşitliği, dinamik basınç ile kanat alanının çarpımının bir CF katsayısı ile çarpımı şeklinde gösterilebilmektedir.
Aerodinamik Bileşke kuvvetinin, yatay olan bileşkesine Sürüklenme (Drag) denir. Uçak üzerindeki durgun noktaların ve hava akışı sürtünmelerinin neticesinde uçağın gidiş yönüne ters yönde oluşan kuvvettir.
Gemi Mühendisliği
Gemi Mühendisliği çok geniş yapılma aşamalarına ve çalışma alanlarına sahip bir mühendisliktir. Bu yüzden Gemi Mühendisliğinin birçok bölümünde matematik çokça kullanılır.
GEMİ
Gemilerde kuvvet çizgisinin geminin merkez hattını kestiği noktaya “Metasentır Noktası” (M) denir. Ağırlık merkezi (G) ile metasentır noktası (M) arasındaki mesafeye “Metasentır Yüksekliği” denir ve GM ile gösterilir.
Geminin tabanı ile su seviyesi arasında kalan mesafeye “Draft” denir. Metasentır noktasının omurgadan mesafesine KM denir.
KG ve GM kuvvetleri geminin stabilitesi için gerekli değerlerdir. Bunların arasında şu şekilde bir ilişki söz konusudur: KM = KG + GM GM mesafesi ise yine aynı bağıntı ile bulunabilir: GM = KM – KG
Bir geminin GM değeri gemi seyirde iken yalpa periyodunu kullanarak yaklaşık olarak hesap edilebilir. Bunun için aşağıdaki formül kullanılabilir.
x’e benzeyen işaret çarpma işareti) Yüklenen yükün ağırlık merkezinin gemi omurgasına olan dikey mesafesi Kg olarak kabul edilirse:
Bir yük gemisinin yükünün omurgaya göre momenti: w x Kg formülü ile hesaplanabilir.
Bir gemide metasentır noktasından gemi yükünün yer değiştirmesi sonucunda oluşacak olan momentin değeri yükün ağırlığı ile shifting (hareket) mesafesinin çarpımına eşit olacaktır. Yani;
M= w x d olur.
Gemilerde, geminin baştaki ve kıçtaki su çekimleri arasındaki farka “Trim” denir. Trim şu formül ile hesaplanır:
BG: Trim Yaptıran Kol
MTC: Birim trim moment yani gemiye 1 cm trim değişikliği yaptıran momente denir.
Bu proje yazıda da görüldüğü üzere mühendisliğin en temel bilim dalı matematiktir diyebiliriz. Matematik bütün mühendislik dallarında kullanıldığı gibi aynı zamanda günlük hayatta kullandığımız eşyaların yapımında ve çalışmasında da önemli rol oynar. Teknolojinin, bilimin her noktasında matematiğin var olduğu görülür. Gerçeğe daha derinden baktığımızda hayatımızda temel nokta olarak matematiğin bulunduğunu söyleyebiliriz. Evrendeki yaşamsal duruş ve var oluşumuz, algılarımız ve farkındalıklarımız düşünsel anlamda geliştikçe matematiğin sadece teknolojik bir gelişim olmadığını, hayatımızın tüm alanında var olduğunu görmeye devam edeceğiz.