Merhaba arkadaşlar bu yazımda “en küçük kareler yöntemi” (Least Squares Method) hakkında bilgi verip, bu yöntemin kullanım alanlarına değineceğim.
Çoğumuz en küçük kareler yöntemini kullanmış, görmüş veya en azından duymuşuzdur. Peki, birçok insanın farkında bile olmadan kullandığı bu en küçük kareler yöntemi nedir, yaşamımızdaki yeri ve kullanım alanları nelerdir?
Gözlem, ölçüm ve deneye dayalı problemlerle uğraşıp doğadan elde ettiği verilerle yeni bir şeyler ortaya koymak isteyen insanların en önemli görevi; bu gözlem, ölçüm ve deneyleri yapmak değil, onların sonuçlarını yorumlamaktır. Çoğu zaman sıralı bir şekilde yapılan ölçüm, gözlem, deneylerden sonra birbirine bağımlı en az iki değişken içeren belki de binlerce, milyonlarca sonuç elde edilir. Elde edilen bu sonuçların hepsi belirli bir miktarda hata içerir ve insanlar için hiçbir anlam ifade etmezler. Ta ki bu sonuçları en iyi temsil edecek bir denklem, grafik, bir eğri ortaya koyana kadar… Ne mi demek istiyorum?
İlk uzunluğu kesin olarak bilinen 10 adet plastik çubuğu alalım ve her çubuğu aynı kaynakla, farklı sürelerde ısıtıp, ısıtılma sonrasındaki uzunluklarını ölçelim. Bu ısıtma sürelerini ve ısıtma sonrasında oluşan genleşme miktarlarını kaydedelim ve ısıtma süresi ile genleşme miktarı arasındaki ilişkiyi bulmak için y=ax+b şeklinde doğrusal bir denklem yazalım. Teorik olarak, her ölçüm sonrasında bir denklem ortaya çıkar ve toplamda 10 adet birbirinden farklı denklem elde etmiş oluruz. Fakat bu 10 adet teorik denklem bize 10 adet ısı, genleşme ilişkisi verir gerçek ilişki hakkında bir fikir sahibi olmamız mümkün değildir. Bu noktada aradığımız ilişkiyi bulabilmek için tüm bu denklemleri en iyi temsil edecek yeni bir denkleme ihtiyaç olduğu açıktır. İşte burada en küçük kareler yöntemi devreye girer.
En küçük kareler yöntemi, çeşitli değişkenler arasındaki ilişkilerin en iyi şekilde belirlenmesini sağlayan bir yöntemdir. Bu yöntem 1806 yılında Adrien-Marie Legendre tarafından yayınlansa da yöntemi Gauss ’un daha önce bulduğu ve yayınlamadığı bilinmektedir. Bu nedenle yöntem Legendre ile değil, Gauss ile anılır. Yöntemin özellikle ölçüm, deney ve gözlem ile uğraşan tüm disiplinlerde kullanılmaktadır. Yöntemi daha iyi anlamak ve kullanım alanlarındaki çeşitliliği görebilmek amacıyla örnekleri artıralım.
En Küçük Kareler Yöntemi Örnekleri
Bir sınıfta bulunan öğrencilerin iki farklı dersten aldıkları notları biliyor olalım. Her öğrenci için, yapılan üçüncü bir sınav notunun değerini bu yönle tahmin edebiliriz. Nasıl mı? Oluşturulacak 3 bilinmeyenli bir denklemin katsayılarını en küçük kareler yöntemi ile belirleyip, gerekli değerleri (bilinen iki sınav notları) fonksiyonda yerine koyarsak öğrencilerin üçüncü sınavdan beklenen notlarını bulabiliriz.
Başka bir örnek verecek olursak; F1 yarışlarında Ferrari takımında çalışan bir mühendisi düşünelim ve bu mühendisin görevi lastiklerin yıpranma süresini bulmak olsun. Bunun için aracın hızı, yolun sürtünme katsayısı, zaman, yağış durumu gibi birbirine bağımlı 4 adet değişken için kontrollü deneyler yapalım ve 4 değişken ile ilgili bulduğumuz yüzlerce sonucu kaydedelim. Peki ama bu sonuçlardan genel bir yargıya nasıl varacağız? Aslında yazının bu kısmına kadar geldiyseniz cevabı net olarak biliyorsunuzdur. Cevap, yine en küçük kareler metodunun kullanımında gizlidir. Dört bilinmeyenli bir fonksiyon yazıp fonksiyonun katsayıları bulunduğunda artık lastiklerin yıpranma süresi ile ilgili genel bir yargı elde etmiş oluruz. Bu gibi örnekler artırılabilir burada dikkat edilmesi gereken değişkenlerin birbirine bağımlı olduğunun düşünülmesi ve temsil edilecek fonksiyonun kurulmuş olmasıdır.
En küçük kareler yönteminin kullanım alanları yukarıdaki örneklerle sınırlandırılmamalıdır. Zira metodun kullanım alanı onu verimli kullanacak olanların hayal gücü kadar sınırsızdır. Bu konu ile ilgili, konunun biraz daha derinine girip metodun nereden çıktığını anlatmaya çalışacağım başka bir yazımda görüşmek üzere…