Merhaba arkadaşlar bu yazımızda sizlere anlamlı rakamlar nedir ve ölçme hataları nasıl bulunur konularını anlatacağız. Bazı fiziksel büyüklükler ölçüldüğünde, ölçülen değerler, sadece deneysel belirsizliklerin sınırları içinde bilinir. Belirsizliğin değeri ölçümde kullanılan aletlerin kalitesi, deneycinin yeteneği ve yapılan ölçümlerin sayısı gibi değişik etmenlere bağlı olabilir.
Varsayalım ki, bir bilgisayar disketinin etiketinin alanının bir metre ile ölçülerek bulunması sorulsun. Bu etiketin ölçtüğümüz değeri, ±0,1 cm doğrulukta olsun. Etiketin genişliği 5,5 cm olarak ölçülmüşse, genişliğin 5,6 cm ile 5,4 cm arasında bir değerde olduğu iddia edilebilir. Bu durumda ölçülen değerin iki anlamlı rakama sahip olduğunu söyleriz. Benzer şekilde etiket uzunluğu 6,4 cm ölçülmüşse, gerçek değer 6,3 cm ile 6,5 cm arasındadır. Anlamlı rakamlar, ilk tahmin edilen basamağı da içermektedir. O halde Ölçülen değerler (5,5 ± 0,1) cm ve (6,4 ± 0,1) cm olarak yazılabilir.
Şimdi de etiketin alanını, bu iki değeri birbiri ile çarparak bulmak istediğimizi varsayalım. Alanın (5,5cm) (6,4 cm) = 35,2 cm2 olduğunu iddia etse idik, o zaman yanıtımız üç anlamlı rakam içerdiği için doğru olmayacaktı. Çünkü buradaki anlamlı rakamlar sayısı, ölçülen uzunlukların anlamlı rakamların sayısından fazla olmaktadır. Anlamlı rakamların sayısının belirlenmesinde rehber olarak kullanılabilecek iyi bir kural aşağıdaki gibi ifade edilebilir:
Bir kaç büyüklük çarpıldığında, elde edilen sonuçtaki anlamlı rakam sayısı, duyarlılığı en az olan çapandaki anlamlı rakam sayısı ile aynıdır. Burada “en az duyarlı” dan kasıt, en az sayıda anlamlı rakamı olandır. Ayni kural bölme işlemine de uygulanır.
Bu kuralı yukardaki çarpma örneğine uygulayarak, alan için cevabın sadece iki anlamlı rakama sahip olduğunu görürüz. Çünkü ölçülen uzunluklar yalnızca iki anlamlı rakama sahiptir. Böylece disket etiketinin alanı 35 cm2 olduğunu iddia edebiliriz. Bu değer, (5,4 cm) x (6,3cm) = 34 cm2 ile (5,6 cm) x (6,5cm) = 36 cm2 arasında bir değerdir.
Bir yanıttaki sıfırların varlığı yanlış yorumlanabilir. 0,03 ve 0,0075 gibi ondalık sayılarda, rakamlardan önce, gelen sıfırlar anlamlı değildir. Yani bunların anlamlı rakamlar sayısı bir ve ikidir. Sıfırlar, rakamlardan sonra geldiğinde ise, yanlış yorumlama olasılığı vardır. Örneğin bir cismin kütlesinin 1500 g olarak ölçüldüğünü varsayalım. Bu değer belirsizdir çünkü son iki sıfırın ayırma virgülü olup olmadığı veya bu sıfırların ölçümdeki anlamlı rakamları temsil edip etmediği bilinmemektedir. Bu belirsizliği ortadan kaldırmak için, anlamlı rakamların sayısını göstermek üzere bilimsel gösterim (notasyon) yaygın
olarak kullanılır. Bu durumda kütleyi, iki anlamlı rakam varsa 1,5×10 g şeklinde, üç anlamlı rakam varsa 1,50 x 10 şeklinde ifade etmeliyiz. Benzer şekilde 0,00015 gibi bir sayı bilimsel gösterimde, eğer iki anlamlı rakamı varsa 1,5 x 10-4 ile üç anlamlı rakama sahipse 1,50 x 10-5 olarak ifade edilir. Bu kural, 1 ’den küçük sayılar için de geçerlidir. Örneğin 2,3 x 10-4 ‘de iki anlamlı rakam vardır. (0,00023 olarak da yazılabilir) 2,30 x 10-4 üç anlamlı rakama sahiptir (Bu rakam 0,000230 olarakta yazılabilir). Genelde bir anlamlı rakam, güvenilirliği bilinen basamaktır (Ondalık noktanın yerini belirtmek için kullanılan sıfır hariç).
Toplama ve çıkarma işleminde, sayılar toplanırken (veya çıkarılırken) sonuçtaki ondalık basamak sayısı , toplamdaki herhangi bir terimin en küçük ondalık basamak sayısına eşit olmalıdır.
Örneğin 123 + 5,35 işlemini yapmak istiyorsak cevap 128,35 değil 128 olacaktır. Başka bir örnek olarak 1,0001 + 0,0003 = 1,0004 toplamını yaparsak, sonucun beş anlamlı rakama sahip olduğu görülür. Halbuki toplamdaki 0,0003 teriminde sadece bir tane anlamlı rakam vardır. Benzer şekilde 1,002 – 0,998 = 0,004 çıkarma işlemini yaparsak, sonuç, kurala uygun olarak üç ondalık basamağa, fakat sadece bir anlamlı rakama sahiptir. Biz bütün kitap boyunca, verilen verilerin tam doğru yanıt vermesi için, üç anlamlı rakama sahip olmasının yeterli olacağını kabul edeceğiz. Yapacağımız tahmini sonuçlarda ise bir basamak anlamlı rakam olarak yeterli olacaktır.
Anlamlı Rakamlar İle İlgili Örnekler
Örnek 1 :Bir Dikdörtgenin Alanı
Bir dikdörtgen levha (21,3 ± 0,2) cm uzunluğa ve (9,80 ± 0,10) cm genişliğe sahiptir. Levhanın alanı ve hesaplamadaki belirsizliği (ölçme hatasını) bulunuz.
Çözüm: Alan = lw = (21,3 ± 0,2) cm x (9,80 ± 0,1) cm = (21,3 x 9,80 ± 21,3 x 0,1 ± 9,80 x 0,2) cm2 = (209 ± 4) cm2
Giriş verilerinin sadece üç anlamlı rakam ile verildiğine dikkat edelim. Dolayısıyla sonucumuzun da daha fazla anlamlı rakam içermesini istemeyiz. 0,2 cm ve 0,1 cm belirsizliklerini niçin çarpmak ihtiyacı duymadığımızı görüyor musunuz?
Örnek 2 : Bir Halının Yerleştirilmesi
Bir halı, uzunluğu 12,71 m (dört anlamlı rakam) ve genişliği 3,46 m (üç anlamlı rakam) olarak ölçülen bir odaya yerleştirilmektedir. Odanın alanını bulunuz.
Çözüm: 12,71 m, ile 3,46 m yi hesap makinası ile çarparsanız. 43,9766 m2 bulunur. Bu rakamlardan kaç tanesini kullanabiliriz? Çarpım kuralımız, ölçülmüş olan büyüklüklerdeki en az doğruluktakileri anlamlı rakam olarak kullanabileceğimizi söyler. Bu örnekte, en az doğruluk ölçümünde sadece üç anlamlı rakam vardır, dolayısıyla son yanıtımızı 44,0 m2 olarak ifade etmeliyiz.
Cevabımızda 43,9766 değerini üç anlamlı rakama indirmede, genel yuvarlama kaidesi olan son rakam 5 veya büyükse (Bu örnekte son rakam 9) ondan bir öncekine 1 ilave etmeyi uyguladık (Uzun hesaplamalarda hata birikimlerini önlemek için kullanılan teknik yuvarlamayı geciktirmektir. Anlamlı basamakların sayısını yuvarlamadan önce, hesap makinenizdeki cevabı almaya hazır oluncaya kadar bekleyiniz).
Kaynak: Serway Fizik Kitabı