Bu yazımda konumuz matematikte temel kavramlar. Matematikte temel kavramlar ilk konumuzdur. Rakam (Matematiğin Alfabesi): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gibi tek haneli sembollere rakam denir. 10 tane rakamımız vardır ve sayıları yazmak için rakamları kullanırız. Rakamları Türkçedeki harflere benzetebiliriz. Nasıl harfleri kullanarak kelimeler oluşturuyorsak Matematikte de rakamları kullanarak sayıları oluştururuz. Sayı: Rakamların tek başlarına veya bir çokluk oluşturacak şekilde bir araya gelmesiyle oluşan ifadelere sayı denir.
Sayı Kümeleri
1. Sayma Sayıları Kümesi: { 1, 2, 3, 4, 5, 6, … } kümesine sayma sayıları denir ve bu kümenin her birine sayma sayısı denir. Sayma sayıları kümesi “S” sembolü ile gösterilir.
2. Doğal Sayılar Kümesi: {0, 1, 2, 3, 4, 5, … } kümesine doğal sayılar kümesi ve bu kümenin her bir elemanına doğal sayı denir. Doğal sayılar kümesi “N” sembolü ile gösterilir.
3. Tam Sayılar Kümesi: { …,-3, -2, -1, 0,1, 2, 3,… } kümesine tam sayılar kümesi denir ve bu kümenin her bir elemanına tam sayı denir. Tam sayılar kümesi “Z” sembolü ile gösterilir. Tam sayılar 3’e ayrılır.
a) Pozitif Tam Sayılar: Sıfırdan büyük (sıfırın sağında olan) sayıların oluşturduğu kümeye pozitif tam sayılar kümesi denir ve bu kümenin her bir elemanına pozitif tam sayı denir.Pozitif tam sayılar kümesi “Z+ sembolü ile gösterilir.
Z+ = {1, 2, 3, …… }
b) Negatif Tam Sayılar: Sıfırdan küçük (sıfırın solunda olan) sayıların oluşturduğu kümeye negatif tam sayılar kümesi denir ve bu kümenin her bir elemanına negatif tam sayı denir.Negatif tam sayılar kümesi “Z-” sembolü ile gösterilir.
Z– = {…,-3, -2, -1 }
4. Rasyonel Sayılar: a ve b birer tam sayı ve b≠0 olsun. a/b şeklinde yazılabilen sayıların oluşturduğu kümeye rasyonel sayılar kümesi bu kümenin her bir elemanına rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar kümesi “Q” sembolü ile gösterilir.
5. İrrasyonel Sayılar: Rasyonel olmayan sayılara yani iki tam sayının bölümü şeklinde yazılamayan sayıların kümesine irrasyonel sayılar denir. İrrasyonel sayılar kümesinin her bir elemanına irrasyonel sayı denir. İrrasyonel sayılar kümesi “I” sembolü ile gösterilir.
6. Reel (Gerçek, Gerçel) Sayılar Kümesi: Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşmesiyle oluşan kümeye reel sayılar kümesi denir ve bu kümenin her bir elemanına reel sayı denir. Reel sayılar kümesi “R” sembolü ile gösterilir.
Tek ve Çift Tam Sayılar
- Çift Tam Sayı: Birler basamağında 0, 2, 4, 6, 8 rakamlarından herhangi biri olan sayılara çift tam sayı denir.
- “n” tam sayı olmak üzere çift tam sayıları “2n” ile gösterebiliriz. Çift tam sayılar kümesi
{………,-4,-2, 0, 2, 4,……….., 2n, …….. } şeklinde gösterilir.
- Tek Tam Sayı: Birler basamağında 1, 3, 5, 7 rakamlarından herhangi biri olan sayılara tek tam sayı denir.
- “n” tam sayı olmak üzere tek tam sayılar “2n-1” ile gösterebiliriz.
{…………,-5, -3, -1, 1, 3, 5, …….., 2n-1, …….. } şeklinde gösterilir.
Tek ve Çift Tam Sayılar Arasındaki İşlemler
Ç=Çift tam sayı , T=Tek tam sayı olmak üzere
1) İki çift tam sayının toplamı ve farkı daima çift tam sayıdır.
Ç + Ç = Ç, Ç- Ç = Ç dir.
2) İki tek tam sayının toplamı ve farkı daima çift tam sayıdır.
T + T = Ç, T- T = Ç dir.
3) Bir çift tam sayı ile bir tek tam sayının toplamı ve farkı daima tek tam sayıdır.
T + Ç = T, T- Ç= T dir.
4) İki veya daha fazla tam sayıdan en az biri çift tam sayı ise çarpımları daima çift tam sayıdır.
Ç . Ç = Ç
T . Ç = Ç dir.
5) İki veya daha fazla tek tam sayının çarpımı daima tek tam sayıdır.
T . T = T dir.
6) Tek tam sayıların veya çift tam sayıların bölümü için kesin yargılarda bulunulamaz.
- Tek veya çift olma, tam sayılar için geçerlidir.
- Rasyonel sayılara tek veya çift sayı denemez.
7) Çift tam sayıların bütün pozitif tam sayı kuvvetleri çift tam sayıdır.
n Є Z+ olmak üzere Ç+= Ç dir.
Uyarı: Çift sayıların kuvveti pozitif tam sayı olmalıdır. Çift sayıların kuvveti sıfır veya negatif olursa ifade çift sayı belirtmez.
Pozitif ve Negatif Tam Sayılar
- Sıfırdan küçük sayılara negatif sayılar denir. x negatif sayı ise “x < 0” şeklinde gösterilir.
- Sıfırdan büyük sayılara pozitif sayılar denir. x pozitif sayı ise “x > 0” şeklinde gösterilir.
- Sıfır pozitif veya negatif sayı değildir.
Pozitif Ve Negatif Sayılar Arasındaki İşlemler
1) Pozitif sayıların toplamı daima pozitiftir.
2) Negatif sayıların toplamı daima negatiftir.
3) Zıt işaretli sayıların toplamı için kesin bir yargıda bulunulamaz. Sonuç, sayısal değerce büyük olanın işaretini alır.
4) Aynı işaretli iki sayının çarpımı veya bölümü daima pozitiftir.
5) Zıt işaretli iki sayının çarpımı veya bölümü daima negatiftir.
6) Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir.
n bir tam sayı x pozitif sayı olmak üzere daima pozitiftir.
Uyarı: Negatif sayıların çift kuvvetleri alınırken kuvvetin parantezin içinde veya dışında olmasına göre sonuç değişir.
Ardışık Sayılar
Belirli bir kurala göre art arda gelen sayılara ardışık sayılar denir.
1. Ardışık Tam sayılar
Aralarında bir fark olan ve art arda gelen tam sayılara ardışık tam sayılar denir. n tam sayı olmak üzere n, n+1, n+2, n+3, … şeklinde gösterilir.
2. Ardışık Çift Tam sayılar
Aralarında iki fark olan ve art arda gelen çift sayılara ardışık çift tam sayılar denir. n çift tam sayı olmak üzere n, n+2, n+4,… şeklinde gösterilir.
3. Ardışık Tek Tam sayılar
Aralarında iki fark olan ve art arda gelen tek sayılara ardışık tek tam sayılar denir. n tek tam sayı olmak üzere n, n+2, n+4, n+6,… şeklinde gösterilir.
Not: Bir ardışık sayı dizisinde terimlerin toplamı ve terim sayısı biliniyor ise ortanca terim aşağıda verilen formül ile bulunabilir.
Uyarı: Ardışık sayı dizisinde çift sayıda terim varsa (4 tane,6 tane,8 tane,12 tane… gibi) ortanca terim olmaz. Fakat ortanca terim varmış gibi düşünülerek işlem yapılır. Yazılacak ardışık sayılar bulunan değerden büyük ve küçük olacak biçimde eşit şekilde yazılır.
Not: Bir ardışık sayı dizisindeki terim sayısı bulunurken;
Sonlu Ardışık Sayıların Toplamı
Sonlu ardışık sayıların toplamı aşağıda verilen formül ile bulunabilir.
Asal Sayılar
1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan 1 den büyük doğal sayılara asal sayı denir. Asal sayılar; 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, … şeklinde sıralanır.
Uyarı:
- En küçük asal sayı 2 dir.
- 1 asal sayı değildir.
- Negatif sayılar asal sayı değildir.
- 2 dışında çift olup aynı zamanda asal olan başka bir sayı yoktur.
Aralarında Asal Sayılar
1 den başka pozitif ortak böleni olmayan iki veya daha fazla sayıya aralarında asal sayı denir.
Uyarı:
- Ardışık sayılar daima aralarında asaldır.
- 1 bütün pozitif tam sayılarla aralarında asaldır.