Merhaba arkadaşlar, uzun bir sürenin ardından sonra tekrardan birlikteyiz. Bugün sizlere matematiğin, belki de az kişi tarafından bilinen, gerçekten de ilginç bir dizi kalıbından bahsedeceğim. İlginç diziler adlı bu yazımda elimden geldiğince az, öz ve tabi ki anlaşılır bir dil kullanmayı hedefliyorum, keyifle okumanız dileğiyle…
Evet, arkadaşlar, şimdi aşağıda vereceğim diziye dikkatlice bakın.
(2,1,2,0,0)
Birinci sayı (2) dizideki kaç tane “0” olduğunu göstermektedir.
İkinci sayı (1) dizideki kaç tane “1” olduğunu göstermektedir.
Üçüncü sayı (2) dizideki kaç tane “2” olduğunu göstermektedir.
Dördüncü sayı (0) dizideki kaç tane “3” olduğunu göstermektedir.
Beşinci sayı (0) dizideki kaç tane “4” olduğunu göstermektedir.
Yani biraz daha matematik diline dökecek olursak: a(0) , a(1) , … , a(n) dizisinin terimleri a(i) = (dizideki i’lerin sayısı) eşitliğini sağlıyorsa bu tür dizilere ilginç diziler diyelim. Gerçekten de adı üstünde ilginç dizilerdir, her bir dizi aslında bir nevi kendisini ifade etmektedir. Kendi kendini açıklayabilen bu dizilere örnekler verelim.
(2,0,2,0)
(1,2,1,0)
(2,1,2,0,0)
(3,2,1,1,0,0,0)
(4,2,1,0,1,0,0,0)
(5,2,1,0,0,1,0,0,0)
.
.
.
(10,2,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0)
Böylece sonsuza gider. Yani sonsuz tane sonlu dizi vardır. Ve bunlardan başka da sonlu hiçbir dizi yoktur. Ayrıca yukarıdaki örneklerde dikkat ettiyseniz 6 elemanlı bir dizi bulunmamakta… Bu dizilerinde diğer bir ilginç yanı da budur.
Şimdi sizlere bu dizileri bulabilmenizi kolaylaştıracak iki olgu vereceğim.
Birinci Olgu
a(0) , a(1) , … , a(n) bir ilginç dizi olsun. Dizide n+1 tane sayı var. İlginç dizilerin tanımından dolayı;
a(0)=dizideki sıfırların sayısı
a(1) =dizideki birlerin sayısı
…..
a(n)=dizideki n’lerin sayısı
Eşitlikleri mevcuttur. Şimdi eşitliklerin solundaki sayıları ve sağındaki sayıları toplayalım. Sol tarafı toplarsak görüldüğü üzere a(0) + a(1) + … + a(n) olmakta. Sağ tarafı ise toplarsak dizinin terim sayısını yani n+1 i elde ederiz.
Birinci olguyu kanıtladık; a(0) + a(1) + … + a(n) = n+1
İİkinci Olgu,
Şimdi sol taraftaki toplama işlemi üzerinde biraz oynama yapalım. Yani, sol tarafta ki sıfırların toplamı a(0) tane sıfır olacağından 0*a(0) olacaktır. Aynı şekilde sol taraftaki birlerin toplamı a(1) tane 1 olacağından 1*a(1) olacaktır. Yeni eşitliği y
azacak olursak;
0*a(0) + 1*a(1) + … + n*a(n) = a(0) + a(1) + … + a(n) = n+1
İşte bu iki olgudan rahatlıkla biraz hesap çerçevesinde diğer dizileri de bulabilirsiniz. Ayrıca şunuda belirtelim: başka sonlu ilginç dizinin olmadığı Herb R. Bailey ve Roger G. Lautzenheiser adlı iki matematikçi tarafından kanıtlanmıştır.
Bu ne işe yarıyor diye sorabilirsiniz. Bunu diyen arkadaşların içi son derece rahat olabilir, bu diziler hiçbir işe yaramıyor. Ancak her zaman dediğim gibi, bilim için harcanan zaman hiçbir zaman boşa gitmemiştir. Bir sonraki yazımda ise hiçbir işe yaramayan Smith sayılarından bahsedeceğim. Okuduğunuz için teşekkürler. Sağlıcakla kalın…