Monty Hall problemi (3 kapı problemi), Amerikan TV yarışma programı Let’s Make a Deal’a dayanan bir olasılık bulmacasıdır. Problem adını, yarışmanın sunucusu Monty Hall‘dan alır. Bu problemin bir çok versiyonu vardır ve hikayesi de oldukça uzundur o yüzden buraya yazmadım isteyen arkadaşlar bu paradoksun hikayesini internetten araştırabilirler.
Neymiş bu Monty Hall problemi bir bakalım. Dediğim gibi problemin birden fazla versiyonu vardır bende bunun en bilinenlerinden bir tanesini seçtim.
Monty Hall Problemi Anlamı
Monty Hall’in sunuculuğunu yaptığı programda yarışmacı olarak bulunuyorsunuz. Sahnede 3 kapı var ve bu kapılar A, B ve C olarak isimlendirilmiş. 2 kapının arkasında keçi ve diğerinin arkasında lüks bir araba var. Monty Hall size kapının birisini seçmenizi söylüyor ve diyelim ki A kapısını seçiyorsunuz. Sonra sunucu kalan kapılardan birini açıyor diyelim ki B kapısını açıyor ve kapının arkasından keçi çıkıyor. Şimdi 2 kapı kaldı ve birisinin arkasında araba var diğerinin arkasında keçi. Sunucu size kapınızı kalan C kapısıyla değiştirmek isteyip istemediğinizi soruyor. Şimdi, acaba kapıyı değiştirsek sonuç değişir mi?
İşin aslına bakarsanız evet. Mantığa biraz aykırı gelebilir çünkü 2 kapı var ve kapıyı değiştirsek de değiştirmesek de arabanın çıkma ihtimalini 1/2 olduğunu düşünmekte oldukça haklısınız. Matematikçileri bile zorlayan hatta birbirine düşüren bu soruyu gelin önce matematiğe fazla girmeden biraz daha derinden inceleyelim. İşin aslı sunucunun arabanın hangi kapının arkasında olduğunu bilmesinde yatıyor. Size arabanın olmadığı kapıyı açıyor ki düşünmenize fırsat veriyor. Diyelim ki A kapısını seçtiniz ve sunucu diğer kapıyı açtıktan sonra A kapısında kalmakta ısrar ettiniz.
-Eğer araba A kapısının arkasındaysa sunucunun hangi kapıyı açtığı önemli değildir arabayı kazanırsınız.
-Eğer araba B kapısının arkasındaysa C kapısı açılır ve siz A da ısrar ettiğiniz için kaybedersiniz.
-Eğer C kapısının arkasındaysa B kapısı açılır A da ısrar ettiğiniz için kaybedersiniz.
Sonuç olarak arabayı bu durumda kazanma ihtimaliniz 1/3 dür
Şimdi kapıyı değiştirdiğiniz durumu inceleyelim:
-Eğer araba A kapısının arkasındaysa siz kapıyı değiştirdiğiniz için hangi kapıyı seçtiğiniz önemli değil kaybettiniz.
-Eğer araba B kapısının arkasındaysa C kapısı açılacak kapınızı değiştirdiğiniz için kazandınız
-Eğer C kapısının arkasındaysa B kapısı açılacak kapınızı C kapısıyla değiştireceğiniz için kazanırsınız.
Gördüğünüz üzere kapıyı değiştirme durumunda arabayı kazanma ihtimaliniz 2/3 oldu. Bahsettiğim üzere problemde kafayı karıştıran sunucudur yani arabanın hangi kapı arkasında bildiği için böyle bir sonuç çıkar.
Jim Al-Khali’nin Paradoks bilimin en büyük dokuz bilmecesi kitabında bu probleme ayrıntılı bir şekilde yaklaşılmış. Benimde yararlandığım bu kaynakta yazar A kapısını seçtiğimizde olayın iki gruba ayrıldığını belirtiyor. Sizin seçtiğiniz kapının olduğu grup ve diğer iki kapının olduğu grup. Arabanın sizin kapınızın arkasında olması 1/3 diğer 2 kapıdan birisinde olma ihtimali ise 2/3. Yani sunucunun iki kapıdan birini açması arabanın oradaki kapılardan birinde olma ihtimalini( yani arabanın 2. Grupta olma olasılığı olan 2/3 ü) değiştirmiyor. Olayı matematiksel olarak da incelemek isteyen arkadaşlar bahsettiğim kitaptan bakabilirler.
3 Kapı Problemini daha iyi anlamak için videoya göz atabilirsiniz.